为什么 Python 的负整数除法结果和 C 不同

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对于整数-5除以2，在 Python 中的结果是-3，但是在 C 中是-2。如果扩展到其他几种常见的语言，可以看到和 C 一致的比较多：

语言 结果
C -2
C++ -2
Java -2
C# -2
Rust -2
Go -2
Python -3
Ruby -3

区别在于对于结果-2.5是选择向0取整还是向负无穷取整，Python 和 Ruby 选择了后者。

对于整数 a 和 n，记 a 除以 n 的结果是 q，余数是 r，则有：a = n * q + r，其中 |r| < |n|。在数论中，r 始终是正数，但是不同的编程语言各自有不同的实现。

In number theory, the positive remainder is always chosen, but in computing, programming languages choose depending on the language and the signs of a or n.

编程语言实现

Truncated division

很多语言采用这种实现，约定 q=trunc(an)q = trunc(\frac{a}{n})，其中 trunc 表示向0取整，代表语言如 Java。

Floored division

Donald Knuth 提倡这种实现，约定 q=⌊an⌋q = \lfloor \frac{a}{n} \rfloor，即向下取整，代表语言如 Python。

Euclidean division

Raymond T. Boute 则提倡这种实现，约定：

q=sgn(n)⌊a∣n∣⌋={⌊an⌋if n > 0⌈an⌉if n < 0q = sgn(n)\lfloor \frac{a}{|n|} \rfloor = \begin{cases} \lfloor \frac{a}{n} \rfloor & \text{if n > 0}\\ \lceil \frac{a}{n} \rceil & \text{if n < 0} \end{cases}

即根据 n 的正负号来判断是向下取整还是向上取整，代表语言如 ABAP。

Rounded division

这是 Common Lisp 和 IEEE 754 采用的实现，约定 q=round(an)q = round(\frac{a}{n})，其中 round 使用 rounding half to even，即在常规的取整之外，对于1.5，2.5，x.5这样的数字取整到最近的偶数，例如6.5取整到6，7.5取整到8。

Ceiling division

这是 Common Lisp 提供的另一种实现，约定 q=⌈an⌉q = \lceil \frac{a}{n} \rceil，即向上取整。

Python 实现

回到 Python，很难说上述哪种实现一定最优，Python 的作者提到采用 floored division 是因为对于某些应用来说，如果取模运算返回负数没有意义。例如，给定一个 POSIX timestamp，如何返回该天的时间部分，即时分秒？因为一天有86400秒，假设时间戳是 t，那么 t % 86400 就表示该天过了多少秒，就可以进一步转化为时分秒。而对于在 1970-01-01T00:00:00Z 之前的日期，t 则是负数，采用 floored division 的情况下 t % 86400 依然返回正数，并且结果也是正确的，而 truncated division 则返回负数，需要应用程序进一步处理。

不过，一种编程语言中不一定只提供一种实现，其他实现可以借助函数库。例如，Python 中 -5 % 2 结果是1，实现方式为 floored division，但是 math.fmod(-5, 2) 结果是-1，实现方式为 truncated division。

参考